Посмотрев на список ABC-троек, можно заметить, что в различных тройках встречается одно и то же c.
Некоторые появляются только один раз, какие-то - дважды, а некоторые - и более. Мы знаем,что для любого n
есть c, которое появляется в n тройках. Но какое наименьшее c, появляющееся в двух тройках? А в трёх?
В четырёх? То же самое справедливо и для b, но мы снова не знаем, каково наименьшее b, появляющееся в n тройках.
Мы знаем, что любое a появляется в бесконечно большом числе троек.
Разница между a и b
Какие значения может принимать разность b - a, если а, b и c - составляют ABC-тройку? Существуют ли значения,
которые никогда не встречаются? Встречаются ли одни значения чаще, чем другие?
Малые тройки
Существует бесконечно много ABC-троек, но сколько существует троек у которых c < n? И насколько много троек
в которых b меньше чем 2a?
Неделимые числа
Для любой ABC-тройки a,b или c делится на 2. Для каждого ли n существует такая ABC-тройка,
что a, b и c не делятся на n?
Тройки - близнецы
Тройки называются близнецами, если у них одно и то же c и один и тот же корень. В таком случает у них
и одинаковое значение качества. Бесконечно ли много таких близнецов?
Не ABC-тройки
Если a + b = c, при том, что a и b - взаимно простые, а корень тройки меньше, чем c (т.е. rad(abc) < с),
мы имеем ABC-тройку. Но мы также, можем искать и не ABC-тройки, корень которых больше, чем c, а их качество
меньше единицы (т.е. q < 1). Можем ли мы построить последовательность, сходящуюся к 1/3?
Вим Вурн (Wim Voorn) недавно решил эту задачу, доказав, что существует бесконечно много троек вида
x, x + 1, 2x + 1, составленных из свободных
от квадратов чисел.