Что такое ABC-тройки? | Открытые вопросы и решённые задачи | Следствия

Следствия из гипотезы о тройках ABC

Гипотеза об ABC-тройках - очень сильное предположение и доказав его, мы можем ответить на многие, ещё не решённые задачи.

Последняя теорема Ферма

Последняя теорема Ферма уже доказана Эндрю Уайлсом в 1995 году. Но его доказательство очень сложное и доказав гипотезу об ABC-тройках мы сможем получить доказательство гораздо более простое.

Оно видится очень простым, если не существует ABC-троек, с качеством большим чем 2. Если мы сможем это доказать, то мы сможем доказать и то, что для теоремы Ферма не существует n больших или равных 6. Предположим, что мы нашли решение вида An + Bn = Cn, где A, B, и C - положительные целые числа, а n > 5. Если НОД(A, B) > 1, то делим A, B и C на него. Принимая a = An, b = Bn, c = Cn, мы получаем тройку и a + b = c при НОД(a, b) = 1. Но мы знаем, что A < B < C, а это значит, что A × B × C < C3. А это значит, что q > log(Cn) / log(C3) ≥ 2.

Если сильное предположение о тройках ABC верно, то мы будем знать, что должно существовать конечное число троек, с показателем качества q > 2 и проверив их, прийти к выводу о том, что для Последней (Великой) теоремы Ферма нет решений для n > 5. Значения n = 3, 4 и 5 мы не рассматриваем, поскольку уже давно известно, что для них искомых решений не существует.

Множество последовательностей из трёх степенных целых - конечно

Степенными целыми называются числа, которые могут быть записаны в виде n = A2B3. Предположим, что у нас есть 3 последовательных степенных числа. Если n делится на p, то оно делится и на p2 и поэтому n больше или равно rad(n)2. А раз так, то при наличии трёх последовательных степенных числел n, n + 1 и n + 2, мы можем создать тройку ABC вида a = 1, b = n(n + 2) = n2 + 2n, c = (n + 1)2 = n2 + 2n + 1. В тоже время rad(1, n(n + 2), (n + 1)2) ≤ 1 × √(n(n + 2)) × √(n + 1). А поскольку √(n(n + 2)) × √(n + 1) < (n + 1)3/2, то и q > log((n + 1)2) / log((n + 1)3/2). То есть, q > 4/3.

Данное предположение мы можем расширить и на три последовательных степенных числа, составляющих арифметическую прогрессию. Предположив, что у нас есть необходимые n, n + k, n + 2k, из которых мы можем составить тройку вида: k2, n × (n + 2k) = n2 + 2kn, (n + k)2 = n2 + 2kn + k2. Корень этой тройки будет меньше либо равен k × √(n(n + 2k)) × √(n + 1) и, следовательно, меньше либо равен k × (n + k)3/2. Что, в свою очередь означает, что q = log((n + k)2) / log(k × (n + k)3/2) = log((n + k)2) / (log(k) + log((n + k)3/2)). Преобразуя, получаем: q = 2 × log(n + k) / (log(k) + 3/2 × log(n + k)). Так как 0, 1 и 2 не являются ABC-тройкой, то мы можем разделить числитель и знаменатель дроби на log(n + k): q = 2 / (log(k) / log(n + k) + 3/2). При стремлении n к бесконечности, отношение log(k) / log(n + k) будет стремится к 0. И тогда q = 2 / (3/2) = 4/3.

Гипотеза Каталана / Теорема Михайлеску

Гипотеза Каталана говорит, что разность между двумя числами, возведёнными в степень, не может быть равной 1, за исключением 32 - 23. Преда Михайлеску уже доказал эту теорему, но она также следует из гипотезы о тройках ABC - что лишь конечное число степеней чисел различаются на 1. Предположим, что мы нашли такие A и B, что Ap + 1 = Bq, причём p, q > 1. Разность между двумя квадратами равна 1 только при 12 - 02, поэтому p и q не могут быть одновременно равны 2. Примем a = 1, b = Ap, c = Bq. Начиная с b или c, являющихся 3-ей степенью, rad(abc) ≤ 1 × √b × c1/3 < c5/6, или rad(abc) ≤ 1 × b1/3 × √c < c5/6. Мы можем создавать ABC-тройки с качеством 6/5 и если гипотеза о тройках ABC верна, то их существует только конечное число.

Оригинал на сайте проекта ABC@home: http://abcathome.com/consequences.php