Перевод на BOINC.RU                                                                Оригинал страницы         


Проект BinSYS

 

Описание проекта

 

Цели.

 

Цель проекта состоит в том, чтобы найти все обобщенные двоичные системы счисления до 11-го измерения . Ниже мы даем короткое описание понятия системы счисления и упоминаем несколько возможных использований.

 [Работа по 11-му измерению закончена в декабре 2005 г. Теперь ведется работа с 12-м измерением. Прим. AlexA]

Введение.

 

Пусть n - целое число, больше единицы. Когда мы говорим о системах счисления в подлинном смысле, мы используем тот факт, что каждое натуральное число z может быть написано однозначно в конечной форме

 

Здесь, n – основа системы счисления,  положительное число. Если n=2, то это двоичная система счисления. Такие системы слишком слабы, чтобы представить отрицательные числа, поэтому приходится устанавливать признак числа. Однако, если допустить основе быть отрицательным целым числом, представление всех целых чисел становится возможным. Так например если мы используем основу -2, каждое целое число имеет форму

 

Это может быть обобщено для алгебраических целых чисел конечного расширения рациональной области числа. Простой пример: все Гауссовы целые числа (комплексные числа формы x+yi, где x, y - целые числа), может быть однозначно записаны с основой (-1+i) следующим образом

 

.

Используя линейную алгебру мы можем определить системы счисления еще более общим способом. Основой здесь является матрица, а цифрами - векторы. Мы можем повторно сформулировать предыдущий пример. Каждый двумерный целочисленный вектор имеет представление как конечная сумма,

 

,

где

  и  .

 

Мы говорим о двоичной системе счисления, если детерминант М +2. В этом случае есть только две цифры, одна из них является источником. Это означает, что, если мы имеем систему подобную счисления тогда, каждый целочисленный вектор может быть представлен как конечный ряд 0-й и 1-ц.

  

Не каждая матрица М может быть основой системы счисления. До сих пор описания "хороших" матриц не удались. Есть достаточные условия, и есть необходимые, но промежуток между ними является слишком большим. Нет никакого известного эффективного метода распределения матриц, для которых выполняются необходимые условия, но отсутствуют достаточные условия. Нужно отметить только одно - то, что, если мы устанавливаем детерминант и измерение, тогда можно говорить, что существует конечное число возможных матриц.

 

Ожидаемые результаты

Программа пытается найти множество обобщенных двоичных систем счисления. Обширный поиск выполняется в конечном множестве матриц данного размера, выполняющего некоторые необходимые условия. Трудность состоит в том, что размер этого конечного множества является функцией экспоненциальной измерению. Теперь появилась возможность заняться изучением матриц11х11 . Чтобы проверять далее необходимые условия, программа выполняет большое вычисление с плавающей запятой. Таким образом, необходимы большие затраты процессорного времени . К счастью, возможна параллельная обработка, и мы можем извлечь выгоду из выполнения программы на нескольких машинах.

 

Программа выводит список матриц (являющиеся более точными характерными полиномиалами), которые, вероятно, будут основами системы счисления. Этот список обрабатывается другой программой (которая не нуждается в такой большой мощности центрального процессора). Конечный результат - полный список двоичных систем счисления в неподвижном измерении.

  

После этого будет выполнен информационный теоретический анализ. Системы счисления обеспечивают двоичное представление целочисленных векторов. Используя координаты мы получаем новое (больше стандартного) представление. Эти два представления обычно отличаются по длине. Кроме того, векторы близкие друг к другу в пространстве могут иметь двоичные представления совершенно различные на вид. Эти наблюдения позволяют предположить, что можно было бы применить такие системы счисления в сжатии данных, кодировании или шифровании.

 

Системы счисления также интересны с геометрической точки зрения. Если мы позволяем отрицательным степеням М появляться в двоичном представлении, мы получаем возможно бесконечного представления реальных векторов (можно сказать, что мы используем показатель основания системы счисления). Граница набора векторов с двоичным представлением, содержащим только отрицательные степени М (набор H чисел с нулевой целочисленной частью) имеет главным образом дробное измерение (это - "фрактал"). Вывод программы может использоваться, чтобы проанализировать эти наборы. Это означает топологический анализ, например вычисление измерения, связность и т.д. Если мы используем матрицу М, приведенную выше, мы получаем следующий набор.

 

 

Наконец, знание всех матриц до данного измерения может помочь нам в более глубоком понимании математики обобщенных систем счисления.

 


Для более детального знакомства с проектом можно посетить этот сайт.


Return to SZTAKI Desktop Grid main page
Перевод Андреева Александра (AlexA), команда "Russia Team"
Copyright © 2006 SZTAKI Desktop Grid

 

Назад на главную страницу BOINC.RU 

Обсудить перевод